$P(1, 2, -3)$,$Q(-2, 1, -4)$ और $R(3, 4, -2)$ पर विचार करें। मान लीजिए $\vec{B} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} + A_z \hat{k}$,जहाँ $A_x, A_y$ और $A_z$ क्रमशः $yz, zx$ और $xy$ समतलों पर त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल के प्रक्षेप (projections) हैं। तब $|\vec{B}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$ है। यदि $\bar{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\bar{a} \cdot \bar{c}=|\bar{c}|$,$|\bar{c}-\bar{a}|=2 \sqrt{2}$ और $\bar{a} \times \bar{b}$ तथा $\bar{c}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|=$

मान लीजिए $L_1: \overrightarrow{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}), \lambda \in R$,$L_2: \overrightarrow{r}=(\hat{j}-\hat{k})+\mu(3 \hat{i}+\hat{j}+p \hat{k}), \mu \in R$,और $L_3: \overrightarrow{r}=\delta(\ell \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}), \delta \in R$ तीन रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $L_1, L_2$ के लंबवत है और $L_3, L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत है। तो वह बिंदु जो $L_3$ पर स्थित है,है

यदि $a=\hat{i}+\hat{j}$ और $b=3 \hat{i}-2 \hat{j}$ है, तो समीकरणों $r \times a=b \times a$ और $r \times b=a \times b$ को संतुष्ट करने वाला सदिश $r$ है

मान लीजिए $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda \in R$. यदि $\vec{a}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \times \vec{b}=13 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}+21=0$,तो $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{r}$ एक इकाई सदिश है जो $\vec{r} \times \vec{a}=\vec{b}$, $|\vec{a}|=2$ और $|\vec{b}|=\sqrt{3}$ को संतुष्ट करता है, तो ऐसा एक $\vec{r}=$