$f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ पर विचार करें,जो $f(x) = x^{2} + 4$ द्वारा दिया गया है। सिद्ध कीजिए कि $f$ व्युत्क्रमणीय है और $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}(y) = \sqrt{y - 4}$ है,जहाँ $R_{+}$ सभी अऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

(A) $f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ को $f(x) = x^{2} + 4$ के रूप में दिया गया है।
एकैकी (one-one) के लिए:
माना $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{2} + 4 = y^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y^{2}$.
$\Rightarrow x = y$ (चूँकि $x, y \in R_{+}$).
अतः,$f$ एक एकैकी फलन है।
आच्छादक (onto) के लिए:
$y \in [4, \infty)$ के लिए,माना $y = x^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y - 4 \geq 0$ (चूँकि $y \geq 4$).
$\Rightarrow x = \sqrt{y - 4} \geq 0$.
इसलिए,किसी भी $y \in [4, \infty)$ के लिए,$x = \sqrt{y - 4} \in R_{+}$ का अस्तित्व है,जिससे $f(x) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
अतः,$f$ आच्छादक है।
इस प्रकार,$f$ एकैकी और आच्छादक है,इसलिए $f^{-1}$ का अस्तित्व है।
आइए $g: [4, \infty) \rightarrow R_{+}$ को $g(y) = \sqrt{y - 4}$ के रूप में परिभाषित करें।
अब,
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^{2} + 4) = \sqrt{(x^{2} + 4) - 4} = \sqrt{x^{2}} = x$.
और
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
अतः,$g \circ f = I_{R_{+}}$ और $f \circ g = I_{[4, \infty)}$.
इस प्रकार,$f$ व्युत्क्रमणीय है और $f$ का प्रतिलोम $f^{-1}(y) = g(y) = \sqrt{y - 4}$ द्वारा दिया गया है।