एक $P - V$ आरेख पर विचार करें जिसमें एक बेलनाकार पात्र में एक मोल आदर्श गैस द्वारा अनुसरण किया गया पथ चित्र में दिखाया गया है।
$(a)$ जब गैस को अवस्था $1$ से अवस्था $2$ में ले जाया जाता है,तो किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
$(b)$ यदि $V_2 = 2V_1$ है,तो तापमान का अनुपात $\frac{T_1}{T_2}$ क्या है?
$(c)$ तापमान $T$ पर एक मोल गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा $\frac{3}{2}RT$ दी गई है,तो जब गैस को अवस्था $1$ से $2$ में ले जाया जाता है,तो गैस को दी गई ऊष्मा ज्ञात कीजिए,जहाँ $V_2 = 2V_1$ है।

(N/A) ग्राफ से,प्रक्रिया $PV^{\frac{1}{2}} = K$ (स्थिरांक) का पालन करती है।
$(a)$ अवस्था $1$ से $2$ तक की प्रक्रिया के लिए किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = \int_{V_1}^{V_2} P \, dV = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{\sqrt{V}} \, dV = K \left[ \frac{V^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{V_1}^{V_2} = 2K(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1})$.
चूंकि $K = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$,इसलिए $W = 2P_1 V_1^{\frac{1}{2}}(\sqrt{V_2} - \sqrt{V_1}) = 2P_1 V_1 (\sqrt{\frac{V_2}{V_1}} - 1)$.
$V_2 = 2V_1$ दिए जाने पर,$W = 2P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$(b)$ आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ और $P = \frac{K}{\sqrt{V}}$ से,हमें $T = \frac{PV}{nR} = \frac{K\sqrt{V}}{nR}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \sqrt{\frac{V_1}{2V_1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(c)$ दी गई ऊष्मा $Q = \Delta U + W$.
$\Delta U = nC_v \Delta T = 1 \cdot \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(P_2 V_2 - P_1 V_1)$.
चूंकि $P_2 V_2^{\frac{1}{2}} = P_1 V_1^{\frac{1}{2}}$,इसलिए $P_2 = P_1 \sqrt{\frac{V_1}{V_2}} = \frac{P_1}{\sqrt{2}}$.
$P_2 V_2 = \frac{P_1}{\sqrt{2}} (2V_1) = P_1 V_1 \sqrt{2}$.
$\Delta U = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.
$Q = \frac{3}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) + 2 P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1) = \frac{7}{2} P_1 V_1 (\sqrt{2} - 1)$.