फलन $f$ और $g$ पर विचार करें ताकि संयुक्त फलन $g \circ f$ परिभाषित हो और एकैकी (one-one) हो। क्या $f$ और $g$ दोनों अनिवार्य रूप से एकैकी हैं?

(NO) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $f$ और $g$ अनिवार्य रूप से एकैकी हैं,संयुक्त फलन $g \circ f$ के गुणों का विश्लेषण करें।
यदि $g \circ f$ एकैकी है,तो $f$ के प्रांत में किसी भी $x_1, x_2$ के लिए,$g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ का अर्थ है $f(x_1) = f(x_2)$,जिसका आगे अर्थ है $x_1 = x_2$। यह पुष्टि करता है कि $f$ का एकैकी होना आवश्यक है।
हालाँकि,$g$ का एकैकी होना आवश्यक नहीं है।
फलन $f: \{1, 2, 3, 4\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ को $f(x) = x$ के रूप में और $g: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ को $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $g(x) = x$ और $g(5) = g(6) = 5$ के रूप में परिभाषित करें।
यहाँ,$(g \circ f)(x) = x$ सभी $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए एकैकी है।
हालाँकि,$g$ एकैकी नहीं है क्योंकि $g(5) = g(6) = 5$ है जबकि $5 \neq 6$ है।
इसलिए,$f$ का एकैकी होना आवश्यक है,लेकिन $g$ का एकैकी होना अनिवार्य नहीं है।