समीकरण x^2+x-n = 0 पर विचार करें,जहाँ n in N | vedclass

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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x - n = 0$ है।मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक का पूर्ण वर्ग

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$8$

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(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + x - n = 0$ है।मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ एक विषम पूर्णांक का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।$D = 1^2 - 4(1)(-n) = 1 + 4n$.माना $1 + 4n = k^2$,जहाँ $k$ एक विषम पूर्णांक है। माना $k = 2\lambda + 1$,जहाँ $\lambda$ एक पूर्णांक है।अतः $1 + 4n = (2\lambda + 1)^2 = 4\lambda^2 + 4\lambda + 1$.$4n = 4\lambda^2 + 4\lambda \implies n = \lambda(\lambda + 1)$.दिया गया है कि $n \in [5, 100]$,इसलिए $5 \le \lambda(\lambda + 1) \le 100$.$\lambda = 2$ के लिए,$n = 2(3) = 6$.$\lambda = 3$ के लिए,$n = 3(4) = 12$.$\lambda = 4$ के लिए,$n = 4(5) = 20$.$\lambda = 5$ के लिए,$n = 5(6) = 30$.$\lambda = 6$ के लिए,$n = 6(7) = 42$.$\lambda = 7$ के लिए,$n = 7(8) = 56$.$\lambda = 8$ के लिए,$n = 8(9) = 72$.$\lambda = 9$ के लिए,$n = 9(10) = 90$.$\lambda = 10$ के लिए,$n = 10(11) = 110$ (जो $100$ से अधिक है)।अतः,$n$ के कुल $8$ संभावित मान हैं।

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