निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:I. यदि n एक | vedclass

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Question

(D) कथन $I$: यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है। $n=4$ के लिए,$(n-1)! = 3! = 6$ है। चूँकि $4$,$6$ को विभाजित नहीं करता है,इ

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$I$ असत्य है और $II$ सत्य है

Vedclass · Answer

(D) कथन $I$: यदि $n$ एक भाज्य संख्या है,तो $n$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है। $n=4$ के लिए,$(n-1)! = 3! = 6$ है। चूँकि $4$,$6$ को विभाजित नहीं करता है,इसलिए कथन $I$ असत्य है। कथन $II$: हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या $n^3+2n^2+n = n(n+1)^2$,$n!$ को विभाजित करता है। यह जाँचने के समान है कि क्या $(n+1)^2$,$(n-1)!$ को विभाजित करता है। $n=3k-1$ के लिए जहाँ $k > 3$,हमारे पास $n+1 = 3k$ है। तब $(n+1)^2 = 9k^2$ है। $(n-1)! = (3k-2)!$ में,यदि $k$ पर्याप्त बड़ा है,तो गुणनफल $(3k-2)!$ में $3k$ और $3k-3$ जैसे गुणनखंड होते हैं,जो $3^2$ और $k^2$ की उपस्थिति सुनिश्चित करते हैं। अतः,$(n+1)^2$ अनंत $n$ के लिए $(n-1)!$ को विभाजित करता है। कथन $II$ सत्य है।

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