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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{-\left|\ln x\right|}$ है,जहाँ $x \in (0, \infty)$.मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) =

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(C) दिया गया फलन $f(x) = e^{-\left|\ln xight|}$ है,जहाँ $x \in (0, \infty)$.मापांक की परिभाषा का उपयोग करके हम फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \begin{cases} e^{-(-\ln x)} = e^{\ln x} = x, & 0 अब,$x = 1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:बायाँ सीमा: $\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} x = 1$दायाँ सीमा: $\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{1}{x} = 1$$x = 1$ पर फलन का मान: $f(1) = \frac{1}{1} = 1$चूँकि सभी सीमाएँ समान हैं,फलन अपने प्रांत में हर जगह सतत है। अतः,$m = 0$.अब,$x = 1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:बायाँ अवकलज: $f'(1^-) = \frac{d}{dx}(x) \big|_{x=1} = 1$दायाँ अवकलज: $f'(1^+) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) \big|_{x=1} = -\frac{1}{x^2} \big|_{x=1} = -1$चूँकि $f'(1^-) 
eq f'(1^+)$,फलन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है। अतः,$n = 1$.इस प्रकार,$m + n = 0 + 1 = 1$.

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यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b; & x \le 0 \\ x^2; & x > 0 \end{cases}$ का $x = 0$ पर अवकलज (derivative) विद्यमान है,तो:

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