यदि f(x) = begin{cases} ax^2 + b; & x le 0 x | vedclass

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Question

(C) $f(x)$ का $x = 0$ पर अवकलज विद्यमान होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत (continuous) होना चाहिए। $x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \l

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$a \in R, b = 0$

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(C) $f(x)$ का $x = 0$ पर अवकलज विद्यमान होने के लिए,इसे $x = 0$ पर सतत (continuous) होना चाहिए। $x = 0$ पर सांतत्य के लिए: $\lim_{x 	o 0^-} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} f(x) = f(0)$ $\lim_{x 	o 0^-} (ax^2 + b) = b$ $\lim_{x 	o 0^+} (x^2) = 0$ $f(0) = b$ अतः,$b = 0$। अब,$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए: $LHD = \lim_{h 	o 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^-} \frac{a(h)^2 + b - b}{h} = \lim_{h 	o 0^-} (ah) = 0$ $RHD = \lim_{h 	o 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h 	o 0^+} \frac{(h)^2 - 0}{h} = \lim_{h 	o 0^+} (h) = 0$ चूंकि $LHD = RHD = 0$ किसी भी $a$ के मान के लिए सत्य है,इसलिए यदि $b = 0$ है,तो फलन सभी $a \in R$ के लिए $x = 0$ पर अवकलनीय है।

यदि $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b; & x \le 0 \\ x^2; & x > 0 \end{cases}$ का $x = 0$ पर अवकलज (derivative) विद्यमान है,तो:

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$0 \le x \le 1$ के लिए $f(x) = \max \{x^2, (x - 1)^2, 2x(1 - x)\}$ द्वारा परिभाषित फलन:

मान लीजिए $f(x) = 15 - |x - 10|; x \in R$ है। तो $x$ के उन सभी मानों का समुच्चय,जिन पर फलन $g(x) = f(f(x))$ अवकलनीय नहीं है,है

यदि $f(x) = \begin{cases} x \left( \frac{e^{1/x} - e^{-1/x}}{e^{1/x} + e^{-1/x}} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है,तो सही कथन है:

यदि $f(x) = \text{sgn}(x^3)$ है,तो

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