अतिपरवलय H : x^2-y^2=1 और केंद्र N(x_2, 0) वा | vedclass

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Question

(B) अतिपरवलय $H: x^2 - y^2 = 1$ के बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $xx_1 - yy_1 = 1$ है। $y = 0$ रखने पर,$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $M(

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$(A, B, D)$

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(B) अतिपरवलय $H: x^2 - y^2 = 1$ के बिंदु $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $xx_1 - yy_1 = 1$ है। $y = 0$ रखने पर,$x$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु $M(\frac{1}{x_1}, 0)$ प्राप्त होता है। $P$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{x_1}{y_1}$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{y_1}{x_1}$ होगी। अभिलंब केंद्र $N(x_2, 0)$ और $P(x_1, y_1)$ से गुजरता है,इसलिए $-\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_1 - 0}{x_1 - x_2}$। इसे हल करने पर $x_2 - x_1 = x_1$ अर्थात $x_2 = 2x_1$ प्राप्त होता है। अतः $N = (2x_1, 0)$। $	riangle PMN$ के शीर्ष $P(x_1, y_1)$,$M(\frac{1}{x_1}, 0)$,और $N(2x_1, 0)$ के लिए केंद्रक $(l, m)$ का मान $l = \frac{x_1 + \frac{1}{x_1} + 2x_1}{3} = x_1 + \frac{1}{3x_1}$ और $m = \frac{y_1}{3}$ होगा। अवकलन करने पर: $\frac{dl}{dx_1} = 1 - \frac{1}{3x_1^2}$,जो विकल्प $(A)$ है। चूँकि $y_1 = \sqrt{x_1^2 - 1}$,इसलिए $\frac{dm}{dx_1} = \frac{1}{3} \frac{dy_1}{dx_1} = \frac{x_1}{3\sqrt{x_1^2 - 1}}$,जो विकल्प $(B)$ है। $\frac{dm}{dy_1} = \frac{1}{3}$,जो विकल्प $(D)$ है। अतः,सही विकल्प $(A, B, D)$ हैं।

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