उस परवलय पर विचार करें जिसका शीर्ष left(frac{ | vedclass

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Question

(B) शीर्ष $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$ और नियता $y = k - a = \frac{1}{2}$ वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।चूँकि $k

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$\frac{125}{16}$

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(B) शीर्ष $(h, k) = \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}ight)$ और नियता $y = k - a = \frac{1}{2}$ वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।चूँकि $k - a = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{3}{4} - a = \frac{1}{2}$,जिससे $a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।समीकरण $\left(x - \frac{1}{2}ight)^2 = 4 	imes \frac{1}{4} \left(y - \frac{3}{4}ight)$,अर्थात $\left(x - \frac{1}{2}ight)^2 = y - \frac{3}{4}$ है।$x = -\frac{1}{2}$ के लिए,$\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}ight)^2 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow 1 = y - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y = \frac{7}{4}$. अतः,$P = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{4}ight)$.परवलय समीकरण का अवकलन करने पर: $2\left(x - \frac{1}{2}ight) = \frac{dy}{dx}$.$x = -\frac{1}{2}$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_T = 2\left(-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}ight) = -2$.अभिलंब की ढाल $m_N = -\frac{1}{m_T} = \frac{1}{2}$.$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{7}{4} = \frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{2}ight) \Rightarrow y = \frac{x}{2} + 2$ है।परवलय समीकरण में $y = \frac{x}{2} + 2$ रखने पर: $\left(x - \frac{1}{2}ight)^2 = \left(\frac{x}{2} + 2ight) - \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$.$x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$ $\Rightarrow 2x^2 - 3x - 2 = 0$ $\Rightarrow (2x + 1)(x - 2) = 0$.$x = -\frac{1}{2}$ बिंदु $P$ है,इसलिए $Q$ के लिए $x = 2$. तब $y = \frac{2}{2} + 2 = 3$,अर्थात $Q = (2, 3)$.$(PQ)^2 = \left(2 - (-\frac{1}{2})ight)^2 + \left(3 - \frac{7}{4}ight)^2 = \left(\frac{5}{2}ight)^2 + \left(\frac{5}{4}ight)^2 = \frac{25}{4} + \frac{25}{16} = \frac{125}{16}$.

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