निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:(I) यदि f(x) = | vedclass

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Question

(A) $(I)$ हमारे पास $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(	an ^{-1} xight)ight)ight)$ है।माना $	an ^{-1} x = 	heta$, तो $	an 	heta

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$I$ और $II$ दोनों गलत हैं

Vedclass · Answer

(A) $(I)$ हमारे पास $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(	an ^{-1} xight)ight)ight)$ है।माना $	an ^{-1} x = 	heta$, तो $	an 	heta = x$। अतः, $\cos 	heta = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$।इसलिए, $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}ight)ight)$।माना $\cot ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}ight) = \alpha$, तो $\cot \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, जिसका अर्थ है $	an \alpha = \sqrt{1+x^2}$।तब $\sin \alpha = \frac{	an \alpha}{\sqrt{1+	an^2 \alpha}} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+1+x^2}} = \sqrt{\frac{1+x^2}{2+x^2}}$।अतः, $f(0) = \sqrt{\frac{1+0}{2+0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} 
eq \frac{1}{2}$, कथन $I$ गलत है।$(II)$ हम सूत्र $4 	an ^{-1} \frac{1}{5} = 	an ^{-1} \frac{120}{119}$ का उपयोग करते हैं।तब $\sin \left(	an ^{-1} \frac{120}{119} - 	an ^{-1} \frac{1}{239}ight) = \sin \left(	an ^{-1} \left(\frac{\frac{120}{119} - \frac{1}{239}}{1 + \frac{120}{119} 	imes \frac{1}{239}}ight)ight) = \sin \left(	an ^{-1} \left(\frac{28680 - 119}{28441 + 120}ight)ight) = \sin \left(	an ^{-1} \frac{28561}{28561}ight) = \sin \left(	an ^{-1} 1ight) = \sin \left(\frac{\pi}{4}ight) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।चूंकि $\frac{1}{\sqrt{2}} 
eq 1$, कथन $II$ गलत है।

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यदि $\cos ^4 \frac{\pi}{8}+\cos ^4 \frac{3 \pi}{8}+\cos ^4 \frac{5 \pi \pi}{8}+\cos ^4 \frac{7 \pi}{8}=k$ है,तो $\sin ^{-1}\left(\sqrt{\frac{k}{2}}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{k}{3}\right)=$

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