दो वक्रों C_1: y^2=4x और C_2: x^2+y^2-6x+1=0 | vedclass

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Question

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4x$ को वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।इससे $x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$ प्रा

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$C_1$ और $C_2$ एक-दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं।

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(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4x$ को वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।इससे $x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 2x + 1 = 0$ हो जाता है।यह $(x - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $x = 1$.$x = 1$ को $y^2 = 4x$ में रखने पर,हमें $y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 2$ या $y = -2$.इस प्रकार,वक्र $(1, 2)$ और $(1, -2)$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।यह जांचने के लिए कि क्या वे स्पर्श करते हैं,हम इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के ढाल की तुलना करते हैं।परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_1 = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_1 = -1$.वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ के लिए,अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3 - x}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{-2} = -1$.चूंकि दोनों बिंदुओं पर ढाल समान हैं,इसलिए वक्र एक-दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं।

दो वक्रों $C_1: y^2=4x$ और $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ पर विचार करें। तो,

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यदि बिंदु $(1, 2)$ से वृत्तों $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ और $3x^2 + 3y^2 - x - y + k = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4 : 3$ है,तो $k =$

रेखा $x+y=k$ वक्र $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ को दो बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $O$ मूल बिंदु है और $\angle AOB=90^{\circ}$ है,तो $k$ $(k>1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$c$ का वह मान जिसके लिए समुच्चय,$\{(x, y) | x^2 + y^2 + 2x \le 1 \} \cap \{(x, y) | x - y + c \ge 0\}$ में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है,है :

यदि बिंदु $(f, g)$ से वृत्तों $x^2 + y^2 = 6$ और $x^2 + y^2 + 3x + 3y = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2 : 1$ है,तो:

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