अंतराल [0, frac{pi}{2}) पर एक संबंध R को xRy | vedclass

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Question

(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ पर संबंध $xRy \iff \sec^2 x - 	an^2 y = 1$ दिया गया है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,हम जा

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एक तुल्यता संबंध

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(A) अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ पर संबंध $xRy \iff \sec^2 x - 	an^2 y = 1$ दिया गया है।$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in [0, \frac{\pi}{2})$ के लिए,हम जाँचते हैं कि क्या $xRx$ सत्य है।$\sec^2 x - 	an^2 x = 1$,जो एक मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है।अतः,$R$ स्वतुल्य है।$2$. सममित: यदि $xRy$ है,तो $\sec^2 x - 	an^2 y = 1$.सर्वसमिका $\sec^2 	heta = 1 + 	an^2 	heta$ का उपयोग करते हुए,$(1 + 	an^2 x) - 	an^2 y = 1 \implies 	an^2 x = 	an^2 y$.तब $\sec^2 y - 	an^2 x = (1 + 	an^2 y) - 	an^2 x = 1 + 	an^2 x - 	an^2 x = 1$.अतः,$yRx$ सत्य है,इसलिए $R$ सममित है।$3$. संक्रामक: यदि $xRy$ और $yRz$ है,तो $\sec^2 x - 	an^2 y = 1$ और $\sec^2 y - 	an^2 z = 1$.पहले से,$	an^2 x = 	an^2 y$. दूसरे से,$\sec^2 y = 1 + 	an^2 z$.$\sec^2 y = 1 + 	an^2 y$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $1 + 	an^2 y - 	an^2 z = 1 \implies 	an^2 y = 	an^2 z$.चूँकि $	an^2 x = 	an^2 y$ और $	an^2 y = 	an^2 z$,इसलिए $	an^2 x = 	an^2 z$.तब $\sec^2 x - 	an^2 z = (1 + 	an^2 x) - 	an^2 z = 1 + 0 = 1$.अतः,$xRz$ सत्य है,इसलिए $R$ संक्रामक है।चूँकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

अंतराल $[0, \frac{\pi}{2})$ पर एक संबंध $R$ को $xRy$ यदि और केवल यदि $\sec^2 x - \tan^2 y = 1$ द्वारा परिभाषित करें। तो $R$ है :

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