पृथ्वी की सतह के नीचे $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ में परिवर्तन के लिए समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) मान लीजिए पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर $m$ द्रव्यमान का एक बिंदु द्रव्यमान है। पृथ्वी की त्रिज्या $R_{E}$ है। पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = (R_{E} - d)$ है।
$d$ मोटाई के बाहरी कवच के कारण $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है।
पिंड पर गुरुत्वाकर्षण बल केवल $(R_{E} - d)$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले द्वारा लगाया जाता है।
यह मानते हुए कि पृथ्वी का घनत्व $\rho$ समान है,आंतरिक गोले का द्रव्यमान $M_{s}$ है:
$M_{s} = \frac{4}{3} \pi (R_{E} - d)^{3} \rho$ $......(1)$
पृथ्वी का कुल द्रव्यमान $M_{E}$ है:
$M_{E} = \frac{4}{3} \pi R_{E}^{3} \rho$ $......(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{M_{s}}{M_{E}} = \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$
$M_{s} = M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}}$ $......(3)$
$d$ गहराई पर बिंदु द्रव्यमान $m$ पर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $F(d)$ है:
$F(d) = \frac{G M_{s} m}{(R_{E} - d)^{2}}$ $......(4)$
समीकरण $(3)$ से $M_{s}$ का मान समीकरण $(4)$ में रखने पर:
$F(d) = \frac{G m}{(R_{E} - d)^{2}} \left[ M_{E} \frac{(R_{E} - d)^{3}}{R_{E}^{3}} \right]$
$F(d) = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
चूंकि $F(d) = m g_{d}$,जहाँ $g_{d}$ गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण है:
$m g_{d} = \frac{G M_{E} m (R_{E} - d)}{R_{E}^{3}}$
$g_{d} = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$ है,इसलिए:
$g_{d} = g \left( 1 - \frac{d}{R_{E}} \right)$