प्राचीन समय में प्रस्तुत ग्रहों की गति के मॉडल और सिद्धांत का वर्णन कीजिए।

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(A) ग्रहों की गति के लिए सबसे पुराना दर्ज मॉडल,जिसे लगभग $2000$ साल पहले टॉलेमी द्वारा प्रस्तावित किया गया था,एक 'भू-केंद्रित' (geocentric) मॉडल था जिसमें सभी खगोलीय पिंड,जैसे तारे,सूर्य और ग्रह,पृथ्वी के चारों ओर घूमते थे।
एक अधिक सटीक मॉडल,'सूर्य-केंद्रित' (heliocentric) मॉडल,जिसमें सूर्य केंद्र में था और ग्रह उसके चारों ओर घूमते थे,का उल्लेख भारतीय ऋषि और वैज्ञानिक श्री आर्यभट्ट ने अपने ग्रंथ में किया था। एक हजार साल बाद,निकोलस कोपरनिकस ने एक मॉडल प्रस्तावित किया जिसमें ग्रह एक स्थिर केंद्रीय सूर्य के चारों ओर वृत्ताकार पथ में गति करते थे। उनके सिद्धांत का चर्च द्वारा विरोध किया गया था,लेकिन गैलीलियो द्वारा इसे महत्वपूर्ण समर्थन मिला था।
गैलीलियो के बाद,टायको ब्राहे ने नग्न आंखों से ग्रहों के अवलोकन दर्ज किए। उनके द्वारा संकलित डेटा का विश्लेषण जोहान्स केप्लर ने किया। उन्होंने ग्रहों की गति के लिए तीन नियम दिए। ये नियम न्यूटन को ज्ञात थे और इसने उन्हें गुरुत्वाकर्षण के सार्वत्रिक नियम का प्रस्ताव देने में एक बड़ी वैज्ञानिक छलांग लगाने में सक्षम बनाया।

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एक भूस्थिर उपग्रह का आवर्तकाल $24 \; h$ है,जो पृथ्वी की सतह से $6 R_{E}$ ($R_{E}$ पृथ्वी की त्रिज्या है) की ऊँचाई पर है। पृथ्वी की सतह से $2.5 R_{E}$ की ऊँचाई वाले दूसरे उपग्रह का आवर्तकाल क्या होगा?

सूर्य के चारों ओर ग्रह $A$ का परिक्रमण काल ग्रह $B$ के परिक्रमण काल का $8$ गुना है। ग्रह $A$ की सूर्य से दूरी, ग्रह $B$ की सूर्य से दूरी की कितनी गुनी है ($\text{गुना}$ में)?

मान लीजिए कि चित्र में पेरिहेलियन $P$ पर ग्रह की गति $v_{P}$ है और सूर्य-ग्रह की दूरी $SP$,$r_{P}$ है। $\{r_{P}, v_{P}\}$ को एपेलियन $\{r_{A}, v_{A}\}$ पर संबंधित राशियों से संबंधित करें। क्या ग्रह $BAC$ और $CPB$ को पार करने में समान समय लेगा?

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एक धूमकेतु (यह मानते हुए कि वह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में है) पेरिहेलियन पर सूर्य से $0.4 \, AU$ की दूरी पर है। यदि धूमकेतु का आवर्तकाल $125 \, yr$ है,तो एफेलियन दूरी ........... $AU$ है ($AU$: खगोलीय इकाई)।

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