$x = ay + b$ और $z = cy + d$ समीकरणों द्वारा निरूपित रेखा के दिक-अनुपात (direction ratios) ज्ञात कीजिए।

बिंदु $Q(0, 2, -2)$ की उस रेखा से दूरी क्या है जो बिंदु $P(5, -4, 3)$ से होकर गुजरती है और रेखाओं $\overrightarrow{r} = (-3 \hat{i} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}), \lambda \in R$ और $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}) + \mu(-\hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}), \mu \in R$ के लंबवत है?

रेखाओं $\vec{r} = (\frac{1}{3}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k})$ और $\vec{r} = (-\frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{k})$, जहाँ $\lambda, \mu \in R$ है, के बीच की न्यूनतम दूरी है:

यदि रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ और $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\lambda$ के संभावित मानों का योग है

यदि $A(1,2,3), B(2,3,-1), C(3,-1,-2)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं,तो $\angle A$ के आंतरिक कोण समद्विभाजक के दिक अनुपात (direction ratios) ज्ञात कीजिए।

माना $a, b \in R$ है। यदि बिंदु $P(a, 6, 9)$ का रेखा $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9}$ के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब $(20, b, -a-9)$ है,तो $|a+b|$ का मान ज्ञात कीजिए।