$f(x) = \frac{1}{x}, x \neq 0$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए।
(N/A) मान लीजिए कि $c$ फलन $f$ के प्रांत में कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।
हम $x$ के $c$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा की गणना करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{1}{x} = \frac{1}{c}$.
अब,$x = c$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(c) = \frac{1}{c}$.
चूंकि सभी $c \neq 0$ के लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ अपने प्रांत $(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$ के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अतः,$f$ एक संतत फलन है।
हम $x$ के $c$ की ओर अग्रसर होने पर फलन की सीमा की गणना करते हैं:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to c} \frac{1}{x} = \frac{1}{c}$.
अब,$x = c$ पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(c) = \frac{1}{c}$.
चूंकि सभी $c \neq 0$ के लिए $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए फलन $f(x) = \frac{1}{x}$ अपने प्रांत $(x \in \mathbb{R} \setminus \{0\})$ के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
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कथन $1$: $f$,$x = 0, 1, 2$ और $3$ पर सतत नहीं है।
कथन $2$: $f(x) = \begin{cases} -1 - x, & -1 \le x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < 1 \\ 1 - x, & 1 \le x < 2 \\ 2 + x - 2, & 2 \le x < 3 \\ 3, & x = 3 \end{cases}$
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DifficultJEE MAIN 2013
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फलन $f(x) = \cot x$ समुच्चय के प्रत्येक बिंदु पर असंतत है
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