બે લંબકોણીય વર્તુળો C_1 અને C_2 પૈકી દરેક બિં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ છે. વર્તુળ $(2,0)$ અને $(-2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+k=0$ અને $4-4g+k=0$ મળે. આ ઉકેલતા $g=0

Vedclass · Accepted Answer

$c^2=4(1+2m^2)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ છે. વર્તુળ $(2,0)$ અને $(-2,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$4+4g+k=0$ અને $4-4g+k=0$ મળે. આ ઉકેલતા $g=0$ અને $k=-4$ મળે. તેથી,વર્તુળો $x^2+y^2+2fy-4=0$ સ્વરૂપના છે. ધારો કે બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ અને $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ છે. તેઓ લંબકોણીય હોવાથી,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$. અહીં $g_1=g_2=0$ હોવાથી,$2f_1f_2 = -4-4 = -8$,એટલે કે $f_1f_2 = -4$. રેખા $y=mx+c$ એ $x^2+y^2+2fy-4=0$ નો સ્પર્શક છે,તેથી કેન્દ્ર $(0,-f)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{f^2+4}$ જેટલું થાય. આમ,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,જેનું સાદું રૂપ $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ થાય. વિસ્તરણ કરતા $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,અથવા $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ મળે. $f_1$ અને $f_2$ એ $f$ માં દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ થાય. આને $-4$ સાથે સરખાવતા,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,તેથી $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,જેનું સાદું રૂપ $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ મળે.

Similar Questions

ધારો કે $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ એ એક વર્તુળ છે જે $(0,6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $(2,4)$ બિંદુએ પરવલય $y=x^{2}$ ને સ્પર્શે છે. તો $A+C$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુ $(1,4)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ ની અંદર આવેલું હોય અને વર્તુળ યામ અક્ષોને સ્પર્શતું કે છેદતું ન હોય,તો

વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x = 0$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ બિંદુ $A$ અને $B$ આગળ છેદે છે. $AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module