ઉપવલય $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

જો ઉપવલયના ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓને તેના નાભિઓ સાથે જોડતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ ના કેન્દ્ર પર છે. ધારો કે $C$ એ $E$ ના નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ માંથી પસાર થાય છે જેથી વર્તુળ $C$ અને ઉપવલય $E$ ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $P$ એ આ ચાર બિંદુઓમાંથી એક છે. જો ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $30$ હોય અને $E$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $17$ હોય,તો $E$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

જો બિંદુ $(\lambda, 3)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય,તો $\lambda = ......$

એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a>b)$ ને અનુક્રમે $2a$ અને $2b$ પરિમાણ ધરાવતા લંબચોરસમાં અંતર્ગત કરવામાં આવ્યું છે. જો લંબચોરસના વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\tan^{-1}(4\sqrt{3})$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા અને $(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.