दीर्घवृत्त $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$ की उत्केंद्रता क्या है?

यदि $\alpha$ और $\beta$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभि-जीवा के अंत्य बिंदुओं के उत्केंद्र कोण (eccentric angles) हैं,तो $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = ....$

माना कि $A, B,$ और $C$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ पर तीन बिंदु हैं। $A$ और $C$ को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,और $B$ लघु अक्ष का अंतिम बिंदु है जिसका कोटि (ordinate) धनात्मक है। $\Delta ABC$ का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर किसी बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $G$ और $g$ पर मिलता है,तो $PG:Pg = $

$(2, 1)$ से गुजरने वाली प्रकाश की एक किरण $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर परावर्तित होती है और फिर $(5, 3)$ बिंदु से गुजरती है। यदि यह परावर्तित किरण $e = \frac{1}{3}$ उत्केंद्रता वाले एक दीर्घवृत्त की नियता (directrix) है और इस नियता से निकटतम नाभि (focus) की दूरी $\frac{8}{\sqrt{53}}$ है,तो दूसरी नियता का समीकरण क्या हो सकता है?

दीर्घवृत्त $3x^2 + 5y^2 = 1$ के किसी भी स्पर्शरेखा पर नाभियों से डाले गए लंबों की लंबाई का गुणनफल है: