$(2, 1)$ से गुजरने वाली प्रकाश की एक किरण $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर परावर्तित होती है और फिर $(5, 3)$ बिंदु से गुजरती है। यदि यह परावर्तित किरण $e = \frac{1}{3}$ उत्केंद्रता वाले एक दीर्घवृत्त की नियता (directrix) है और इस नियता से निकटतम नाभि (focus) की दूरी $\frac{8}{\sqrt{53}}$ है,तो दूसरी नियता का समीकरण क्या हो सकता है?

दीर्घवृत्तों के संग्रह $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ और आयतों के संग्रह $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ में अंतर्निहित सबसे बड़े क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $E_{18}$ और $E_{19}$ की उत्केंद्रता समान नहीं है
$(2)$ $E_9$ में केंद्र से नाभि की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $\frac{7}{4}$ है। तो ऐसे दो दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रताओं का निरपेक्ष अंतर (absolute difference) क्या है?

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ पर उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ से दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ पर परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं।

रेखा $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ निम्नलिखित में से किस वक्र की स्पर्श रेखा है?

वक्र $2x^2+y^2=2x$ से बिंदु $(a, 0)$ की अधिकतम दूरी क्या है?