मूल बिंदु से sqrt{frac{2}{21}} की दूरी पर स्थ | vedclass

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Question

(D) समतलों $P_1: x-y-z-1=0$ और $P_2: 2x+y-3z+4=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता ह

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$4x-y-5z+2=0$

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(D) समतलों $P_1: x-y-z-1=0$ और $P_2: 2x+y-3z+4=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x-y-z-1) + \lambda(2x+y-3z+4) = 0$$(1+2\lambda)x + (-1+\lambda)y + (-1-3\lambda)z + (-1+4\lambda) = 0$.इस समतल की मूल बिंदु $(0,0,0)$ से दूरी $\sqrt{\frac{2}{21}}$ दी गई है।दूरी का सूत्र $d = \frac{|d_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ है,इसलिए:$\frac{|4\lambda-1|}{\sqrt{(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 + (-1-3\lambda)^2}} = \sqrt{\frac{2}{21}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$\frac{(4\lambda-1)^2}{(1+4\lambda+4\lambda^2) + (1-2\lambda+\lambda^2) + (1+6\lambda+9\lambda^2)} = \frac{2}{21}$.$\frac{(4\lambda-1)^2}{14\lambda^2+8\lambda+3} = \frac{2}{21}$.$21(16\lambda^2-8\lambda+1) = 2(14\lambda^2+8\lambda+3)$.$336\lambda^2 - 168\lambda + 21 = 28\lambda^2 + 16\lambda + 6$.$308\lambda^2 - 184\lambda + 15 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $308\lambda^2 - 154\lambda - 30\lambda + 15 = 0$.$154\lambda(2\lambda-1) - 15(2\lambda-1) = 0$.$(154\lambda-15)(2\lambda-1) = 0$.अतः,$\lambda = \frac{1}{2}$ या $\lambda = \frac{15}{154}$.$\lambda = \frac{1}{2}$ के लिए,समीकरण $(x-y-z-1) + \frac{1}{2}(2x+y-3z+4) = 0$ होगा।$2x-2y-2z-2 + 2x+y-3z+4 = 0$.$4x-y-5z+2 = 0$.

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मान लीजिए कि बिंदु $P(2, -1, 3)$ का समतल $x + 2y - z = 0$ में प्रतिबिंब $Q$ है। तो बिंदु $Q$ से समतल $3x + 2y + z + 29 = 0$ की दूरी $.........$ है।

बिंदुओं $(1, 1, -1)$ और $(3, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा समतल $\sqrt{\lambda} x + 3y + 6z = 17$ के साथ $\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{8}}\right)$ का कोण बनाती है। तो $\lambda =$

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