$\int_{-1}^{\frac{3}{2}}|x \sin (\pi x)| d x$ ની કિંમત શોધો.

(A) ધારો કે $f(x) = |x \sin(\pi x)|$. વિધેય $x \sin(\pi x)$ એ $[-1, 1]$ પર અ-ઋણ છે અને $[1, \frac{3}{2}]$ પર અ-ધન છે.
તેથી,$|x \sin(\pi x)| = \begin{cases} x \sin(\pi x) & \text{માટે } -1 \leq x \leq 1 \\ -x \sin(\pi x) & \text{માટે } 1 < x \leq \frac{3}{2} \end{cases}$
તેથી,$\int_{-1}^{\frac{3}{2}} |x \sin(\pi x)| dx = \int_{-1}^{1} x \sin(\pi x) dx - \int_{1}^{\frac{3}{2}} x \sin(\pi x) dx$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x \sin(\pi x) dx = -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2}$.
પ્રથમ સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{-1}^{1} = (-\frac{1 \cdot (-1)}{\pi} + 0) - (-\frac{-1 \cdot (-1)}{\pi} + 0) = \frac{1}{\pi} - (-\frac{1}{\pi}) = \frac{2}{\pi}$.
બીજા સંકલનનું મૂલ્ય: $\left[ -\frac{x \cos(\pi x)}{\pi} + \frac{\sin(\pi x)}{\pi^2} \right]_{1}^{\frac{3}{2}} = (0 + \frac{\sin(3\pi/2)}{\pi^2}) - (-\frac{1 \cdot (-1)}{\pi} + 0) = -\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}$.
બંને પરિણામોની બાદબાકી કરતા: $\frac{2}{\pi} - (-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{\pi}) = \frac{3}{\pi} + \frac{1}{\pi^2}$.