समाकलन int x^2 sqrt{8-x^6} , dx का मान ज्ञात | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int x^2 \sqrt{8-x^6} \, dx$ है। $u = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 3x^2 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{1}{3}

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$\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{2} \sqrt{8-x^6}+4 \sin ^{-1} \frac{x^3}{2 \sqrt{2}}\right]$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int x^2 \sqrt{8-x^6} \, dx$ है। $u = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 3x^2 \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$। अतः समाकलन $I = \frac{1}{3} \int \sqrt{8-u^2} \, du$ हो जाता है। मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2-u^2} \, du = \frac{u}{2} \sqrt{a^2-u^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{a}\right) + C$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a^2 = 8$ (अर्थात $a = 2\sqrt{2}$): $I = \frac{1}{3} \left[ \frac{u}{2} \sqrt{8-u^2} + \frac{8}{2} \sin^{-1} \left(\frac{u}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$। $u = x^3$ वापस रखने पर: $I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{2} \sqrt{8-x^6} + 4 \sin^{-1} \left(\frac{x^3}{2\sqrt{2}}\right) \right] + C$। अतः,सही विकल्प $B$ है।

समाकलन $\int x^2 \sqrt{8-x^6} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए। जहाँ $|x| < \sqrt{2}$ है।

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