समाकल का मूल्यांकन करें: int frac{sin x}{sin | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $I = \int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2} \sin x}{1 - \sqrt{2} \sin x} ight| - \frac{1}{4} \log |\sec x + 	an x| + c$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $I = \int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx = \int \frac{\sin x}{2 \sin 2x \cos 2x} dx = \int \frac{\sin x}{4 \sin x \cos x (1 - 2 \sin^2 x)} dx = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x)}$ है।अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर: $I = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{\cos^2 x (1 - 2 \sin^2 x)} = \frac{1}{4} \int \frac{\cos x dx}{(1 - \sin^2 x)(1 - 2 \sin^2 x)}$।माना $\sin x = t$, तब $\cos x dx = dt$। अतः $I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)}$।आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1 - t^2)(1 - 2t^2)} = \frac{A}{1 - t^2} + \frac{B}{1 - 2t^2}$। हल करने पर $A = -1$ और $B = 2$ प्राप्त होता है।$I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{2}{1 - 2t^2} - \frac{1}{1 - t^2} ight) dt = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 - (\sqrt{2}t)^2} - \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1 - t^2}$।$\int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{a+x}{a-x} ight|$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2}t}{1 - \sqrt{2}t} ight| - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+t}{1-t} ight| + c$।चूंकि $\frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sin x}{1-\sin x} ight| = \log |\sec x + 	an x|$, परिणाम $\frac{1}{4\sqrt{2}} \log \left| \frac{1 + \sqrt{2} \sin x}{1 - \sqrt{2} \sin x} ight| - \frac{1}{4} \log |\sec x + 	an x| + c$ है।

समाकल का मूल्यांकन करें: $\int \frac{\sin x}{\sin 4x} dx$

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