सीमा का मान ज्ञात कीजिए: lim _{n rightarrow i | vedclass

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Question

(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ है।हम योग के अंदर के पद को $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/

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$2$ है

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(C) दी गई सीमा $L = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{3}{n} \sum_{r=0}^{n-1} \sqrt{\frac{n}{n+3r}}$ है।हम योग के अंदर के पद को $\sqrt{\frac{1}{1+3(r/n)}} = (1+3(r/n))^{-1/2}$ के रूप में लिख सकते हैं।अतः, $L = 3 \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} (1+3(r/n))^{-1/2}$।निश्चित समाकलन की परिभाषा $\int_{0}^{1} f(x) dx = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{n-1} f(r/n)$ का उपयोग करने पर:$L = 3 \int_{0}^{1} (1+3x)^{-1/2} dx$।$(1+3x)^{-1/2}$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $\frac{(1+3x)^{1/2}}{3 	imes (1/2)} = \frac{2}{3} \sqrt{1+3x}$ प्राप्त होता है।निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$L = 3 \left[ \frac{2}{3} \sqrt{1+3x} ight]_{0}^{1} = 2 [\sqrt{1+3} - \sqrt{1+0}] = 2 [\sqrt{4} - 1] = 2 [2 - 1] = 2$।

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left\{1+\sqrt{\frac{n}{n+3}}+\sqrt{\frac{n}{n+6}}+\sqrt{\frac{n}{n+9}}+\ldots+\sqrt{\frac{n}{n+3(n-1)}}\right\}$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k}{n^{k+1}}\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sin \frac{\pi}{4}+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{1}{n}\right)+\sin \frac{\pi}{12}\left(3+\frac{2}{n}\right)+\ldots+\sin \frac{\pi}{3}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

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