गुणनफल का मान ज्ञात कीजिए: left(1+cos frac{pi | vedclass

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Question

(A) माना दिया गया व्यंजक $P = \prod_{k=1}^{7} \left(1+\cos \frac{k\pi}{8}ight)$ है।सर्वसमिका $1+\cos 	heta = 2\cos^2 \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करन

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{16}$

Vedclass · Answer

(A) माना दिया गया व्यंजक $P = \prod_{k=1}^{7} \left(1+\cos \frac{k\pi}{8}ight)$ है।सर्वसमिका $1+\cos 	heta = 2\cos^2 \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर,$1+\cos \frac{k\pi}{8} = 2\cos^2 \frac{k\pi}{16}$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से,चूंकि $\cos(\pi - 	heta) = -\cos 	heta$,इसलिए $1+\cos(\pi - 	heta) = 1-\cos 	heta$ होता है।पदों का युग्म बनाने पर: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}ight)\left(1+\cos \frac{7\pi}{8}ight) = (1+\cos \frac{\pi}{8})(1-\cos \frac{\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$.इसी प्रकार,$\left(1+\cos \frac{2\pi}{8}ight)\left(1+\cos \frac{6\pi}{8}ight) = (1+\cos \frac{\pi}{4})(1-\cos \frac{\pi}{4}) = 1-\cos^2 \frac{\pi}{4} = \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$.और $\left(1+\cos \frac{3\pi}{8}ight)\left(1+\cos \frac{5\pi}{8}ight) = (1+\cos \frac{3\pi}{8})(1-\cos \frac{3\pi}{8}) = 1-\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$.मध्य पद $\left(1+\cos \frac{4\pi}{8}ight) = 1+\cos \frac{\pi}{2} = 1+0 = 1$ है।अतः,$P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cdot \sin^2 \frac{3\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$.चूंकि $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$,इसलिए $P = \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (\sin \frac{\pi}{4})^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

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