योगफल ज्ञात कीजिए: sum_{k=1}^{2026} sin^{-1}( | vedclass

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Question

(C) माना $f(k) = \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ है। सर्वसमिका $\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$ का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि फलन $f(k)$ क

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) माना $f(k) = \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ है। सर्वसमिका $\sin^{-1}(\cos x) = \frac{\pi}{2} - x$ का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं कि फलन $f(k)$ का आवर्तकाल $8$ है क्योंकि $\cos(\frac{(k+8)\pi}{4}) = \cos(\frac{k\pi}{4} + 2\pi) = \cos(\frac{k\pi}{4})$ है।एक आवर्तकाल का योग $S_8 = \sum_{k=1}^{8} \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$ है।$k=1$ से $8$ के लिए मान: $\sin^{-1}(\cos \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{2\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{3\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \pi) = -\frac{\pi}{2}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{5\pi}{4}) = -\frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos \frac{6\pi}{4}) = 0$, $\sin^{-1}(\cos \frac{7\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}$, $\sin^{-1}(\cos 2\pi) = \frac{\pi}{2}$।योग $S_8 = \frac{\pi}{4} + 0 - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 0 + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = 0$ है।चूँकि $2026 = 8 	imes 253 + 2$ है, कुल योग $253 	imes S_8 + f(1) + f(2) = 0 + \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}$ होगा।

योगफल ज्ञात कीजिए: $\sum_{k=1}^{2026} \sin^{-1}(\cos \frac{k\pi}{4})$।

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