समीकरण निकाय की संगतता की जाँच कीजिए: $x+y+z=1$,$2x+3y+2z=2$,और $ax+ay+2az=4$.

यदि रैखिक समीकरण निकाय $(\sin \theta) x - y + z = 0$, $x - (\cos \theta) y + z = 0$, और $x + y + (\sin \theta) z = 0$ का एक अशून्य हल है, तो $\theta$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[x]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ को दर्शाता है,तो रैखिक समीकरणों का निकाय
$[\sin \theta ] x + [-\cos \theta ] y = 0$
$[\cot \theta ] x + y = 0$

यदि समीकरणों की प्रणाली
$2x + y - z = 5$
$2x - 5y + \lambda z = \mu$
$x + 2y - 5z = 7$
के अनंत हल हैं,तो $(\lambda + \mu)^2 + (\lambda - \mu)^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$3 \times 3$ आव्यूह $A$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसके अवयव $1$ या $-1$ हैं और जिसके लिए समीकरण निकाय $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ के ठीक तीन भिन्न हल हैं।

मान लीजिए $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $ad-bc \neq 0$ और $e$, $1$ के अलावा एक धनात्मक संख्या है। यदि $x^a y^b=e^m$, $x^c y^d=e^n$, $\Delta_1=\left|\begin{array}{ll}m & b \\ n & d\end{array}\right|$, $\Delta_2=\left|\begin{array}{ll}a & m \\ c & n\end{array}\right|$ और $\Delta_3=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ है, तो $x$ और $y$ के मान क्रमशः क्या होंगे?