$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x$ શોધો.

(N/A) આપેલ સંકલ્ય નીચે મુજબના પ્રકારનું છે:

સંમેય વિધેયનું સ્વરૂપ	આંશિક અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ
$\frac{p x^{2}+q x+r}{(x-a)^{2}(x-b)}$	$\frac{A}{x-a}+\frac{B}{(x-a)^{2}}+\frac{C}{x-b}$

આપણે લખી શકીએ: $\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+3}$
છેદ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $3 x-2 = A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C(x+1)^{2}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $3 x-2 = A(x^{2}+4 x+3)+B(x+3)+C(x^{2}+2 x+1)$
બંને બાજુ $x^{2}, x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+C=0$
$4 A+B+2 C=3$
$3 A+3 B+C=-2$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $A=\frac{11}{4}, B=\frac{-5}{2}$ અને $C=\frac{-11}{4}$ મળે છે.
આમ,સંકલ્ય છે: $\frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)}=\frac{11}{4(x+1)}-\frac{5}{2(x+1)^{2}}-\frac{11}{4(x+3)}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{3 x-2}{(x+1)^{2}(x+3)} d x = \frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+1}-\frac{5}{2} \int \frac{d x}{(x+1)^{2}}-\frac{11}{4} \int \frac{d x}{x+3}$
$= \frac{11}{4} \log |x+1| + \frac{5}{2(x+1)} - \frac{11}{4} \log |x+3| + C$
$= \frac{11}{4} \log \left|\frac{x+1}{x+3}\right| + \frac{5}{2(x+1)} + C$