$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ શોધો.

(N/A) ધારો કે પ્રથમ વિધેય $u = \sin ^{-1} x$ અને બીજું વિધેય $dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ છે.
પ્રથમ,આપણે બીજા વિધેયનું સંકલન શોધીએ:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$
ધારો કે $t = 1-x^{2}$,તો $dt = -2x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = -\frac{1}{2} dt$.
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} (2t^{1/2}) = -\sqrt{1-x^{2}}$.
હવે,ખંડશઃ સંકલનનું સૂત્ર વાપરો: $\int u dv = uv - \int v du$.
અહીં,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$.
$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = (\sin ^{-1} x)(-\sqrt{1-x^{2}}) - \int (-\sqrt{1-x^{2}}) \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$
$= -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + \int 1 dx$
$= -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + x + C$
$= x - \sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + C$.