આપેલ શરત સંતોષતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: frac{dy}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ છે. આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -3 \cot x$

Vedclass · Accepted Answer

$y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$ છે. આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = -3 \cot x$ અને $Q = \sin 2x$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $= e^{\int P dx} = e^{-3 \int \cot x dx} = e^{-3 \ln |\sin x|} = e^{\ln |\sin x|^{-3}} = \frac{1}{\sin^3 x}$. વ્યાપક ઉકેલ $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ છે. $y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \left( \sin 2x \cdot \frac{1}{\sin^3 x} ight) dx + C$. $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ હોવાથી,$y \cdot \frac{1}{\sin^3 x} = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^3 x} dx + C = 2 \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx + C$. $u = \sin x$ લેતા,$du = \cos x dx$ મળે. સંકલન $2 \int u^{-2} du = -2u^{-1} = -\frac{2}{\sin x}$ થાય. તેથી,$\frac{y}{\sin^3 x} = -\frac{2}{\sin x} + C$. $\sin^3 x$ વડે ગુણતા,$y = -2 \sin^2 x + C \sin^3 x$ મળે. $x = \frac{\pi}{2}$ પર $y = 2$ આપેલ છે,તેથી $2 = -2 \sin^2(\frac{\pi}{2}) + C \sin^3(\frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2 = -2(1) + C(1) \Rightarrow C = 4$. આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = 4 \sin^3 x - 2 \sin^2 x$ છે.

આપેલ શરત સંતોષતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો: $\frac{dy}{dx} - 3y \cot x = \sin 2x$; જ્યારે $x = \frac{\pi}{2}$ ત્યારે $y = 2$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3y = e^{-2x}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f:[1, \infty) \rightarrow[2, \infty)$ એક વિકલનીય વિધેય છે. જો તમામ $x \geq 1$ માટે $10 \int_1^{x} f(t) dt = 5x f(x) - x^5 - 9$ હોય,તો $f(3)$ નું મૂલ્ય શોધો:

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = \sin x$ નો ઉકેલ શોધો.

$\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module