फलन $f(x) = \sin x - \cos x$ के लिए स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $0 < x < 2\pi$ है।

दिया गया है $f(x) = \sin x - \cos x$,जहाँ $0 < x < 2\pi$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f'(x) = \cos x + \sin x$ ज्ञात करें।
क्रांतिक बिंदुओं को खोजने के लिए $f'(x) = 0$ रखें: $\cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = -1$।
अंतराल $(0, 2\pi)$ में,$\tan x = -1$ का मान $x = \frac{3\pi}{4}$ और $x = \frac{7\pi}{4}$ पर होता है।
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = -\sin x + \cos x$ ज्ञात करें।
$x = \frac{3\pi}{4}$ पर मान रखने पर: $f''(\frac{3\pi}{4}) = -\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} < 0$। अतः,$x = \frac{3\pi}{4}$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ है।
$x = \frac{7\pi}{4}$ पर मान रखने पर: $f''(\frac{7\pi}{4}) = -\sin(\frac{7\pi}{4}) + \cos(\frac{7\pi}{4}) = -(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 0$। अतः,$x = \frac{7\pi}{4}$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
स्थानीय न्यूनतम मान $f(\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$ है।