एक आयत की एक भुजा धनात्मक y- अक्ष पर और एक भु | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि आयत का ऊपरी दायां शीर्ष वक्र $y = \frac{\ln x}{x^2}$ पर $(x, y)$ है।चूंकि आयत की भुजाएं धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर हैं,इसलिए इसका क

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$e^{-1}$

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(A) मान लीजिए कि आयत का ऊपरी दायां शीर्ष वक्र $y = \frac{\ln x}{x^2}$ पर $(x, y)$ है।चूंकि आयत की भुजाएं धनात्मक $x$ और $y$ अक्षों पर हैं,इसलिए इसका क्षेत्रफल $A = x \cdot y$ द्वारा दिया जाता है।$y$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$A = x \cdot \frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln x}{x}$ प्राप्त होता है।अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:$\frac{dA}{dx} = \frac{x \cdot (\frac{1}{x}) - \ln x \cdot (1)}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर,$1 - \ln x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\ln x = 1$,इसलिए $x = e$.यह सत्यापित करने के लिए कि यह अधिकतम है,हम द्वितीय अवकलज या $\frac{dA}{dx}$ के चिह्न परिवर्तन की जांच करते हैं। $x  0$ और $x > e$ के लिए,$\frac{dA}{dx} अधिकतम क्षेत्रफल $A_{max} = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

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