फलन $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ के लिए,जहाँ $0 < x < 1$ है,स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया है $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ जहाँ $0 < x < 1$ है।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = (1)\sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}(-1) = \sqrt{1 - x} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}}$.
सरल करने पर,$f'(x) = \frac{2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}}$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $2 - 3x = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{2}{3}$.
अब,द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 - 3x}{2(1 - x)^{1/2}} \right)$ ज्ञात करें।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f''(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-3(1 - x)^{1/2} - (2 - 3x) \cdot \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1)}{1 - x} \right] = \frac{-6(1 - x) + (2 - 3x)}{4(1 - x)^{3/2}} = \frac{3x - 4}{4(1 - x)^{3/2}}$.
$x = \frac{2}{3}$ पर,$f''\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3(2/3) - 4}{4(1 - 2/3)^{3/2}} = \frac{2 - 4}{4(1/3)^{3/2}} = \frac{-2}{4(1/3)^{3/2}} < 0$.
चूँकि $f''\left(\frac{2}{3}\right) < 0$ है,इसलिए $x = \frac{2}{3}$ स्थानीय उच्चतम का बिंदु है।
स्थानीय उच्चतम मान $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ है।
अंतराल $(0, 1)$ में कोई स्थानीय निम्नतम मान नहीं है।