વિધેય $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ માટે,જ્યાં $0 < x < 1$ હોય,ત્યારે સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

(N/A) આપેલ છે કે $f(x) = x\sqrt{1 - x}$ જ્યાં $0 < x < 1$ છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = (1)\sqrt{1 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}(-1) = \sqrt{1 - x} - \frac{x}{2\sqrt{1 - x}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$f'(x) = \frac{2(1 - x) - x}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{2 - 3x}{2\sqrt{1 - x}}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $2 - 3x = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{2}{3}$.
હવે,દ્વિતીય વિકલિત $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2 - 3x}{2(1 - x)^{1/2}} \right)$ શોધો.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f''(x) = \frac{1}{2} \left[ \frac{-3(1 - x)^{1/2} - (2 - 3x) \cdot \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1)}{1 - x} \right] = \frac{-6(1 - x) + (2 - 3x)}{4(1 - x)^{3/2}} = \frac{3x - 4}{4(1 - x)^{3/2}}$.
$x = \frac{2}{3}$ આગળ,$f''\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3(2/3) - 4}{4(1 - 2/3)^{3/2}} = \frac{2 - 4}{4(1/3)^{3/2}} = \frac{-2}{4(1/3)^{3/2}} < 0$.
કારણ કે $f''\left(\frac{2}{3}\right) < 0$ છે,તેથી $x = \frac{2}{3}$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$ છે.
અંતરાલ $(0, 1)$ માં કોઈ સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.