અંતરાલ $[0,3]$ પર $3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

(A) ધારો કે $f(x) = 3x^{4}-8x^{3}+12x^{2}-48x+25$.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો $f'(x) = 12x^{3}-24x^{2}+24x-48$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે $f'(x) = 0$ લો: $12(x^{3}-2x^{2}+2x-4) = 0$.
ઘન પદાવલિના અવયવ પાડતા: $12[x^{2}(x-2)+2(x-2)] = 0$,જે $12(x-2)(x^{2}+2) = 0$ આપે છે.
અંતરાલ $[0,3]$ માં એકમાત્ર વાસ્તવિક ક્રિટિકલ પોઈન્ટ $x=2$ છે.
હવે,ક્રિટિકલ પોઈન્ટ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધો:
$x=0$ પર: $f(0) = 3(0)^{4}-8(0)^{3}+12(0)^{2}-48(0)+25 = 25$.
$x=2$ પર: $f(2) = 3(2)^{4}-8(2)^{3}+12(2)^{2}-48(2)+25 = 3(16)-8(8)+12(4)-96+25 = 48-64+48-96+25 = -39$.
$x=3$ પર: $f(3) = 3(3)^{4}-8(3)^{3}+12(3)^{2}-48(3)+25 = 3(81)-8(27)+12(9)-144+25 = 243-216+108-144+25 = 16$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા: $25, -39, 16$.
મહત્તમ કિંમત $25$ ($x=0$ પર) છે અને ન્યૂનતમ કિંમત $-39$ ($x=2$ પર) છે.