निम्नलिखित अनुक्रम का $7^{\text{th}}$ पद ज्ञात कीजिए जिसका $n^{\text{th}}$ पद $a_{n} = \frac{n^{2}}{2^{n}}$ है।

मान लीजिए $a_1, a_2, a_3, \ldots$ एक समांतर श्रेणी में धनात्मक पूर्णांकों की एक अनुक्रम है जिसका सार्व अंतर $2$ है। साथ ही,मान लीजिए $b_1, b_2, b_3, \ldots$ एक गुणोत्तर श्रेणी में धनात्मक पूर्णांकों की एक अनुक्रम है जिसका सार्व अनुपात $2$ है। यदि $a_1 = b_1 = c$ है,तो $c$ के उन सभी संभावित मानों की संख्या,जिनके लिए समानता $2(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सत्य है,क्या है?

$a_{1} = -1$ और $n \geq 2$ के लिए $a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}$ द्वारा परिभाषित अनुक्रम के पहले पाँच पद लिखिए और संगत श्रेणी प्राप्त कीजिए।

मान लीजिए $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = \frac{10^n}{n!}$ है,तो $n$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $a_n$ अधिकतम है।

मान लीजिए $a_1=b_1=1$ और $a_n=a_{n-1}+(n-1)$,$b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$,$\forall n \geq 2$. यदि $S =\sum \limits_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ और $T =\sum \limits_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$ है,तो $2^7(2S - T)$ का मान $........$ है।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{n=101}^{200} 2^n \sum_{k=101}^n \frac{1}{k !}$ और $b = \sum_{n=101}^{200} \frac{2^{201}-2^n}{n !}$ है। तब,$\frac{a}{b}$ का मान ज्ञात कीजिए।