मान लीजिए $a_1=b_1=1$ और $a_n=a_{n-1}+(n-1)$,$b_n=b_{n-1}+a_{n-1}$,$\forall n \geq 2$. यदि $S =\sum \limits_{n=1}^{10} \frac{b_n}{2^n}$ और $T =\sum \limits_{n=1}^8 \frac{n}{2^{n-1}}$ है,तो $2^7(2S - T)$ का मान $........$ है।

यदि एक $A.P.$ के $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं और $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,तो $A.P.$ के सार्व अंतर और प्रथम पद के अनुपात का मान क्या होगा?

यदि $\frac{b + a}{b - a} = \frac{b + c}{b - c}$ है,तो $a, b, c$ किसमें हैं

मान लीजिए कि चार भिन्न धनात्मक संख्याएँ $a_1, a_2, a_3, a_4$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं। मान लीजिए $b_1 = a_1$,$b_2 = b_1 + a_2$,$b_3 = b_2 + a_3$ और $b_4 = b_3 + a_4$ है।
कथन-$I$: संख्याएँ $b_1, b_2, b_3, b_4$ न तो समांतर श्रेणी में हैं और न ही गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
कथन-$II$: संख्याएँ $b_1, b_2, b_3, b_4$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

मान लीजिए $S_{n}(x) = \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \log_{a^{1/6}} x + \log_{a^{1/11}} x + \log_{a^{1/18}} x + \log_{a^{1/27}} x + \ldots$ $n$-पदों तक,जहाँ $a > 1$ है। यदि $S_{24}(x) = 1093$ और $S_{12}(2x) = 265$ है,तो $a$ का मान ..... है।

मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं। यदि $x_1, x_2, x_3, x_4$ में से क्रमशः $2, 7, 9, 5$ घटाया जाता है,तो प्राप्त संख्याएँ एक समांतर श्रेणी में होती हैं। तब $\frac{1}{24}(x_1 x_2 x_3 x_4)$ का मान है: