मान लीजिए कि चार भिन्न धनात्मक संख्याएँ a_1, | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0, r 
eq 1$ (क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)।अतः $b_1 = a$,$b_2 = a(1+r)$,$b_3

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$I$ सत्य है। कथन-$II$ असत्य है।

Vedclass · Answer

(C) मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3$ है जहाँ $a > 0$ और $r > 0, r 
eq 1$ (क्योंकि संख्याएँ भिन्न हैं)।अतः $b_1 = a$,$b_2 = a(1+r)$,$b_3 = a(1+r+r^2)$,$b_4 = a(1+r+r^2+r^3)$ है।$b_1, b_2, b_3, b_4$ के समांतर श्रेणी में होने के लिए $b_2 - b_1 = b_3 - b_2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $ar = ar^2$,अतः $r=1$,जो भिन्नता के विरोधाभास में है।$b_1, b_2, b_3, b_4$ के गुणोत्तर श्रेणी में होने के लिए $b_2^2 = b_1 b_3$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^2(1+r)^2 = a^2(1+r+r^2)$,अतः $1+2r+r^2 = 1+r+r^2$,जिसका अर्थ है $r=0$,जो धनात्मक संख्याओं के लिए संभव नहीं है।इस प्रकार,कथन-$I$ सत्य है।हरात्मक श्रेणी के लिए,उनके व्युत्क्रम समांतर श्रेणी में होने चाहिए। सामान्य $r$ के लिए $\frac{1}{b_1}, \frac{1}{b_2}, \frac{1}{b_3}, \frac{1}{b_4}$ समांतर श्रेणी में नहीं हैं। अतः,कथन-$II$ असत्य है।

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एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,मान लीजिए $a(n) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n - 1}$. तो:

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए,$n(n + 1)$ हमेशा

यदि $a_1 = a_2 = 2$ और $n > 2$ के लिए $a_n = a_{n-1} - 1$ है,तो $a_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

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