यदि एक $A.P.$ के $(m + 1)^{th}$,$(n + 1)^{th}$ और $(r + 1)^{th}$ पद $G.P.$ में हैं और $m, n, r$ $H.P.$ में हैं,तो $A.P.$ के सार्व अंतर और प्रथम पद के अनुपात का मान क्या होगा?

तीन संख्याएँ एक बढ़ते हुए गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं जिनका सार्व अनुपात $r$ है। यदि मध्य संख्या को दोगुना कर दिया जाए,तो नई संख्याएँ एक समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होती हैं जिनका सार्व अंतर $d$ है। यदि $G.P.$ का चौथा पद $3r^{2}$ है,तो $r^{2}-d$ का मान ज्ञात कीजिए:

उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पद लिखिए जिसका $n^{th}$ पद $a_{n} = (-1)^{n-1} 5^{n+1}$ है।

मान लीजिए कि $\langle a_n \rangle$ एक अनुक्रम है जहाँ $a_0 = 0, a_1 = \frac{1}{2}$ और $2a_{n+2} = 5a_{n+1} - 3a_n$ है,$n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ के लिए। तो $\sum_{k=1}^{100} a_k$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि श्रेणी $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ के प्रथम $40$ पदों का योग $(102)m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $S_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots$ $n$ पदों तक है। यदि $-p$ प्रथम पद और $p$ सार्व अंतर वाली एक $A.P.$ के प्रथम छह पदों का योग $\sqrt{2026 S_{2025}}$ है,तो $A.P.$ के $20$ वें और $15$ वें पद के बीच का निरपेक्ष अंतर क्या है?