मान लीजिए कि langle a_n rangle एक अनुक्रम है | vedclass

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Question

(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ है।अभिलक्षणिक समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(2x - 3)(x - 1) = 0$ हैं।अत

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$3a_{100} - 100$

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(B) दिया गया पुनरावृत्ति संबंध $2a_{n+2} - 5a_{n+1} + 3a_n = 0$ है।अभिलक्षणिक समीकरण $2x^2 - 5x + 3 = 0$ है,जिसके गुणनखंड $(2x - 3)(x - 1) = 0$ हैं।अतः,मूल $x = 1$ और $x = \frac{3}{2}$ हैं।सामान्य पद $a_n = A(1)^n + B(\frac{3}{2})^n = A + B(\frac{3}{2})^n$ है।प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए:$n = 0$ के लिए: $A + B = 0 \Rightarrow A = -B$.$n = 1$ के लिए: $A + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow -B + \frac{3}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2}B = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow B = 1, A = -1$.अतः,$a_n = (\frac{3}{2})^n - 1$.अब,$\sum_{k=1}^{100} a_k = \sum_{k=1}^{100} ((\frac{3}{2})^k - 1) = \sum_{k=1}^{100} (\frac{3}{2})^k - \sum_{k=1}^{100} 1$.गुणोत्तर श्रेणी का योग $\frac{\frac{3}{2}((\frac{3}{2})^{100} - 1)}{\frac{3}{2} - 1} = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1)$ है।इसलिए,$\sum_{k=1}^{100} a_k = 3((\frac{3}{2})^{100} - 1) - 100 = 3a_{100} - 100$.

मान लीजिए कि $\langle a_n \rangle$ एक अनुक्रम है जहाँ $a_0 = 0, a_1 = \frac{1}{2}$ और $2a_{n+2} = 5a_{n+1} - 3a_n$ है,$n = 0, 1, 2, 3, \ldots$ के लिए। तो $\sum_{k=1}^{100} a_k$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $a_n = \sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\ldots}}}$ ($n$ बार),तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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यदि $\log _e a, \log _e b, \log _e c$ एक $A.P.$ में हैं और $\log _e a - \log _e 2b, \log _e 2b - \log _e 3c, \log _e 3c - \log _e a$ भी एक $A.P.$ में हैं,तो $a : b : c$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $a_n = \frac{10^n}{n!}$ है,तो $n$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $a_n$ अधिकतम है।

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