मान लीजिए $S_{n}(x) = \log_{a^{1/2}} x + \log_{a^{1/3}} x + \log_{a^{1/6}} x + \log_{a^{1/11}} x + \log_{a^{1/18}} x + \log_{a^{1/27}} x + \ldots$ $n$-पदों तक,जहाँ $a > 1$ है। यदि $S_{24}(x) = 1093$ और $S_{12}(2x) = 265$ है,तो $a$ का मान ..... है।

यदि श्रेणी $3+4+8+9+13+14+18+19+\ldots$ के प्रथम $40$ पदों का योग $(102)m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $n \geq 4$ एक धनात्मक पूर्णांक है और $l_1, l_2, \ldots, l_n$ एक $n$-भुजा वाले बहुभुज $P$ की भुजाओं की लंबाई है। मान लीजिए $\frac{l_1}{l_2} + \frac{l_2}{l_3} + \ldots + \frac{l_{n-1}}{l_n} + \frac{l_n}{l_1} = n$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $P$ की भुजाओं की लंबाई समान है।
$II$. $P$ के कोण समान हैं।
$III$. यदि $P$ चक्रीय है तो यह एक नियमित बहुभुज है।

मान लीजिए $a, b \in \mathbb{R}$ इस प्रकार हैं कि $a, a + 2b, 2a + b$ एक $A.P.$ में हैं और $(b + 1)^2, ab + 5, (a + 1)^2$ एक $G.P.$ में हैं,तो $(a + b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1 = a_2 = 2$ और $n > 2$ के लिए $a_n = a_{n-1} - 1$ है,तो $a_5$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक गुणोत्तर श्रेणी में तीन क्रमागत पदों का योग $14$ है। यदि पहले और दूसरे पद में $1$ जोड़ा जाए और तीसरे पद से $1$ घटाया जाए,तो प्राप्त नए पद समांतर श्रेणी में होते हैं। तो मूल पदों में सबसे छोटा पद है