$A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{a}=\hat{i}+5\hat{j}+\alpha\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+3\hat{j}+\beta\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=-\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|=5\sqrt{3}$ और $\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$ के लंबवत है। तो $|\vec{a}|^{2}$ का अधिकतम मान .... है।

यदि $\alpha$ दो सदिशों $p = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ और $q = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण है,तो $\sin(\alpha) = $

उस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिश $\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।

यदि $\bar{a}=\hat{j}-\hat{k}$ और $\bar{c}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ है,तो $\bar{a} \times \bar{b}+\bar{c}=\vec{0}$ और $\bar{a} \cdot \bar{b}=3$ को संतुष्ट करने वाला सदिश $\bar{b}$ है

$\vec{r}$ एक सदिश है जो सदिशों $2 \hat{i}-\hat{j}$ और $\hat{j}+2 \hat{k}$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत है। यदि सदिश $2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ पर $\vec{r}$ के प्रक्षेप का परिमाण $1$ है, तो $|\vec{r}|=$