$A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$. જો $\overline{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,$|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$ અને $\overline{a} \times \overline{b}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2 \pi}{3}$ હોય,તો $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=$

ધારો કે $\overrightarrow{OA}=2 \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=6 \overrightarrow{a}+5 \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{OC}=3 \overrightarrow{b}$,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. જો $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $15$ ચોરસ એકમ હોય,તો ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

જો $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{OB} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{OC} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ હોય,તો $A$ માંથી દોરેલા $\triangle ABC$ ના વેધની લંબાઈ શોધો.

જો $\overline{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\overline{b} = \hat{j} - \hat{k}$ હોય,તો $\overline{a} \times \overline{r} = \overline{b}$ અને $\overline{a} \cdot \overline{r} = 3$ નું સમાધાન કરતો સદિશ $\overline{r}$ શોધો.

જો શૂન્યતર સદિશ $\vec{a}$ એ સદિશો $\hat{j}-\hat{k}$ અને $3\hat{j}-2\hat{k}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલ અને સદિશો $2\hat{i}+3\hat{j}$ અને $\hat{i}-3\hat{j}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલની છેદરેખાને સમાંતર હોય,તો સદિશો $\vec{a}$ અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.