प्रथम चतुर्थांश में x^{2}=4y,y=2,y=4 और y-अक् | vedclass

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Question

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^{2}=4y$,रेखाओं $y=2$ और $y=4$,तथा $y$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $y=2$ से $y=4$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष सम

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$\left(\frac{32-8 \sqrt{2}}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $x^{2}=4y$,रेखाओं $y=2$ और $y=4$,तथा $y$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $y=2$ से $y=4$ तक $x$ का $y$ के सापेक्ष समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।दिया गया है $x^{2}=4y$,इसलिए $x = \sqrt{4y} = 2\sqrt{y}$ (चूंकि यह प्रथम चतुर्थांश में है,$x > 0$)।क्षेत्रफल $= \int_{2}^{4} x \, dy = \int_{2}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$$= 2 \int_{2}^{4} y^{1/2} \, dy$$= 2 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} ight]_{2}^{4} = 2 	imes \frac{2}{3} \left[ y^{3/2} ight]_{2}^{4}$$= \frac{4}{3} \left[ 4^{3/2} - 2^{3/2} ight]$$= \frac{4}{3} \left[ 8 - 2\sqrt{2} ight]$$= \left( \frac{32 - 8\sqrt{2}}{3} ight) 	ext{ वर्ग इकाई}$

प्रथम चतुर्थांश में $x^{2}=4y$,$y=2$,$y=4$ और $y-$अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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रेखा $y = 3 - x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = 2$ तथा $x = 5$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . है।

वक्र $y = \sqrt{16 - x^2}$ और रेखाओं $x = 0, x = 4$ द्वारा $X$-अक्ष के ऊपर परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है: ($\pi$ में)

वक्र $y = x^2 - x - 6$,$x$-अक्ष $(y = 0)$ और रेखाओं $x = -1$ तथा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

दी गई आकृति में दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ के छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

क्षेत्र $A = \{(x, y) : (x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}, 0 \leq x \leq 2\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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