क्षेत्र A = {(x, y) : (x-1)[x] leq y leq 2sqr | vedclass

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Question

(A) क्षेत्र $0 \leq x \leq 2$ के लिए $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।सबसे पहले,हम फलन $f(x) = (x-1)[x]$ को परिभाषित करते हैं:$0 \l

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$\frac{8}{3}\sqrt{2} - \frac{1}{2}$

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(A) क्षेत्र $0 \leq x \leq 2$ के लिए $(x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}$ द्वारा परिभाषित है।सबसे पहले,हम फलन $f(x) = (x-1)[x]$ को परिभाषित करते हैं:$0 \leq x $1 \leq x $x = 2$ पर,$[x] = 2$,इसलिए $f(2) = (2-1)(2) = 2$ है।ऊपरी सीमा $y = 2\sqrt{x}$ है।क्षेत्रफल $A$ ऊपरी वक्र और निचले वक्र के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$A = \int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx - \int_{1}^{2} (x-1) \, dx$.प्रथम समाकलन की गणना:$\int_{0}^{2} 2\sqrt{x} \, dx = 2 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2^{3/2} = \frac{4}{3} \cdot 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$.द्वितीय समाकलन की गणना ($x=1$ से $x=2$ तक $y=x-1$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल):$\int_{1}^{2} (x-1) \, dx = \left[ \frac{(x-1)^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.अतः,कुल क्षेत्रफल $A = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ है।

क्षेत्र $A = \{(x, y) : (x-1)[x] \leq y \leq 2\sqrt{x}, 0 \leq x \leq 2\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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वक्रों $y=x^{2}+2, \,y=x,\, x=0$ और $x=3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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