क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए {(x, y): 0 l | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र $y \leq x^2 + 1$,$y \leq x + 1$,और $0 \leq x \leq 2$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है। सबसे पहले,वक्रों $y = x^2 + 1$ और $y = x + 1$ क

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$\frac{23}{6}$

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(A) यह क्षेत्र $y \leq x^2 + 1$,$y \leq x + 1$,और $0 \leq x \leq 2$ के प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित है। सबसे पहले,वक्रों $y = x^2 + 1$ और $y = x + 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2 + 1 = x + 1 \implies x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$. अतः,वक्र $x = 0$ और $x = 1$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $0 \leq x \leq 1$ के लिए,क्षेत्र $y \leq x + 1$ द्वारा परिबद्ध है (क्योंकि इस अंतराल में $x+1 \geq x^2+1$ है)। $1 \leq x \leq 2$ के लिए,क्षेत्र $y \leq x^2 + 1$ द्वारा परिबद्ध है (क्योंकि इस अंतराल में $x^2+1 \geq x+1$ है)। दिए गए ग्राफ के अनुसार,क्षेत्र किसी भी बिंदु $x$ पर दो वक्रों में से निचले वक्र द्वारा परिबद्ध है। $0 \leq x \leq 1$ के लिए,निचला वक्र $y = x^2 + 1$ है। $1 \leq x \leq 2$ के लिए,निचला वक्र $y = x + 1$ है। क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx + \int_{1}^{2} (x + 1) dx$. $= [\frac{x^3}{3} + x]_{0}^{1} + [\frac{x^2}{2} + x]_{1}^{2}$. $= (\frac{1}{3} + 1) - 0 + ((\frac{4}{2} + 2) - (\frac{1}{2} + 1))$. $= \frac{4}{3} + (4 - \frac{3}{2}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{2} = \frac{8 + 15}{6} = \frac{23}{6}$.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(x)$	$2$	$3$	$6$	$11$	$18$	$27$

क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए $\{(x, y): 0 \leq y \leq x^{2}+1, 0 \leq y \leq x+1, 0 \leq x \leq 2\}$.

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