x- અક્ષ,રેખા x=sqrt{3} y અને વર્તુળ x^{2}+y^{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$,રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને $x-$ અક્ષ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રદેશ $OAB$ નું ક્ષ

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{3}$

Vedclass · Answer

(A) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$,રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને $x-$ અક્ષ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રદેશ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ છે.રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ ના પ્રથમ ચરણમાં છેદબિંદુ શોધવા માટે $x=\sqrt{3} y$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:$(\sqrt{3} y)^{2} + y^{2} = 4 \implies 3y^{2} + y^{2} = 4 \implies 4y^{2} = 4 \implies y = 1$.આમ,$x = \sqrt{3}(1) = \sqrt{3}$. છેદબિંદુ $A(\sqrt{3}, 1)$ છે.ક્ષેત્રફળ $OAB = 	ext{ક્ષેત્રફળ}(	riangle OCA) + 	ext{ક્ષેત્રફળ}(	ext{પ્રદેશ } ACB)$.$	riangle OCA$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} 	imes OC 	imes AC = \frac{1}{2} 	imes \sqrt{3} 	imes 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.પ્રદેશ $ACB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \int_{\sqrt{3}}^{2} y \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \, dx$.સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:$= \left[ \frac{x}{2} \sqrt{4-x^{2}} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight]_{\sqrt{3}}^{2}$$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4-4} + 2 \sin^{-1}(1) ight) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4-3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2}) ight)$$= (0 + 2 	imes \frac{\pi}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} 	imes 1 + 2 	imes \frac{\pi}{3})$$= \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.કુલ ક્ષેત્રફળ $OAB = \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ ચોરસ એકમ.

$x-$ અક્ષ,રેખા $x=\sqrt{3} y$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=4$ દ્વારા પ્રથમ ચરણમાં ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

વક્ર $y=4x-x^{2}$ અને $x$-અક્ષ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$x$-અક્ષ અને યામ $x = e$ વચ્ચે વક્ર $y = \log x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્ર $x+2y=8$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1, x=5$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ સંકલનનો ઉપયોગ કરીને . . . . . . ચોરસ એકમ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module