उस दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: केंद्र $(0, 0)$ पर है,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है और यह $(3, 2)$ तथा $(1, 6)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है।

यदि सरल रेखा $8x + 3\sqrt{2}y = 36$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 2$ को $(a, b)$ पर स्पर्श करती है,तो $a + \sqrt{2}b =$

उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका केंद्र $(2, -3)$ है,एक नाभि $(3, -3)$ है और संगत शीर्ष $(4, -3)$ है।

माना एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से होकर गुजरता है और इसकी उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। यदि $E$ की नाभि $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ पर केंद्रित और $\frac{2}{\sqrt{3}}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त,$E$ को दो बिंदुओं $P$ और $Q$ पर काटता है,तो $PQ^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ पर बिंदु $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ (जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$) पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है। तो $\theta$ का वह मान क्या है जिसके लिए इस स्पर्श रेखा द्वारा अक्षों पर बनाए गए अंतःखंडों का योग न्यूनतम है?

यदि बिंदु $(\lambda, 3)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत हैं,तो $\lambda = ......$